TEOREMA DE PITÁGORAS
Antes
de conocer el Teorema de Pitágoras estudiaremos los triángulos rectángulos, observemos los siguientes triángulos:
Un
triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se
cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no
colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los
segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados
contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS.-
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos, tenemos:
Por las longitudes de sus lados:
Triángulo equilátero: Cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño y los tres ángulos internos miden 60 grados,
Triángulo isósceles: Tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
Triángulo escaleno: Si todos sus lados tienen longitudes diferentes en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida.
Por la amplitud de sus ángulos:
Triángulo rectángulo:
Tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo
recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: Cuando
ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos
obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Triángulo obtusángulo:
Si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son
agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo:
Cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Por
lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3
lados y 3 vértices, observemos:
Si
está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un
nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una
superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en
cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
En
geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo
recto, es decir, un ángulo de 90º se, cumple el llamado teorema de
Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS
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| Pitágoras |
UN POCO HISTORIA.-
El teorema de Pitágoras fue descubierto por el Filósofo
y griego Pitágoras de Samos nacido en la isla de Samos, Jonia hacia el 569 a.C. y murió hacia el 475 a.C. en Metaponto (Lucania, Sur de Italia). Fue instruido en las enseñanzas
de los filósofos jónicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes.
Aunque fue utilizado por los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes (Triángulo sagrado egipcio). El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.
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| Triangulo Sagrado Egipcio |
Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en
Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de
cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de
arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo
XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas
ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con
los tres lados de un triágulo rectángulo (verifican el teorema de Pitágoras).
Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25),
(12,16,20)...
TEOREMA DE PITAGORAS.-
Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre
triángulos: Si
el triángulo tiene un ángulo recto (90°) y pones un cuadrado sobre cada uno de
sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área
que los otros dos cuadrados juntos, observemos:
Veamos si las áreas
son la misma:
32
+ 42 = 52
Calculando
obtenemos:
9 + 16 = 25
Escribiendo como una ecuación:
Los catetos están representados por las letras a, b y el lado mas largo es la hipotenusa representado por la letra c. Entonces:
“En un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.”
Ahora realizaremos un ejemplo muy sencillo,
sean los catetos a=3 , b=4; entonces nos piden hallar la hipotenusa
representada por c, y tenemos en la ecuación despejada la letra c entonces solo
reemplazamos los valores y realizamos operaciones algebraicas y obtenemos el
valor de c. Observemos:
Observemos algunos ejemplos para encontrar el valor que falta, como ser:
